Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

Явная схема Эйлера

Нелинейное уравнение

Намного более интересные решения можно получить для нелинейного уравнения теплопроводности, например, с нелинейным источником тепла ф(u)=10³ (u-u³). Заметим, что в листинге 11.1 мы предусмотрительно определили коэффициент диффузии и источник тепла в виде пользовательских функций, зависящих от аргумента и, т. е. от температуры. Если бы мы собирались моделировать явную зависимость их от координат, то следовало бы ввести в пользовательскую функцию в качестве аргумента переменную х, как это сделано для источника тепла ф. Поэтому нет ничего проще замены определения этих функций с констант D(U)=1 и ф(х,u)=0 на новые функции, которые станут описывать другие модели диффузии тепла. Начнем с того, что поменяем четвертую строку листинга 11.1 на ф(х,u)=10³ (u-u³), не изменяя пока постоянного значения коэффициента диффузии.

Примечание
С физической точки зрения, зависимость коэффициента диффузии и функции источника тепла от температуры означает, что эти параметры будут меняться от точки к точке среды, определяясь локальными значениями текущей температуры в этих точках. Ввод ненулевого источника тепла означает, что среда получает определенное количество тепла, тем большее, чем больше локальная температура. Можно догадаться, что введение такой зависимости может моделировать, в частности, горение среды.

Если осуществить расчеты с упомянутым источником (имеющим кубическую нелинейность), то получится очень интересное решение уравнения теплопроводности, имеющее профиль тепловых фронтов. С течением времени граница раздела высокой и низкой температуры распространяется в обе стороны от зоны первичного нагрева, оставаясь весьма четко выделенной (рис. 11.8).

Рис. 11.8. Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником (тепловой фронт)

Еще более неожиданные решения возможны при нелинейности также и коэффициента диффузии. Например, если взять квадратичный коэффициент диффузии D(x,u)=u² (что с учетом его умножения на неизвестные функции создаст кубическую нелинейность уравнения), а также ф(х,u)=10³ -u³ -5, то вы сможете наблюдать совсем иной режим горения среды. В отличие от рассмотренного эффекта распространения тепловых фронтов, горение оказывается локализованным в области первичного нагрева среды, причем температура в центре нагрева со временем возрастает до бесконечной величины (рис. 11.9). Такое решение описывает так называемый режим горения "с обострением".

Рис. 11.9. Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником и коэффициентом диффузии (режим локализации горения)

Читателю предлагается поэкспериментировать с этим и другими нелинейными вариантами уравнения теплопроводности. Существенно, что такие интересные результаты удается получить лишь численно, а в Mathcad только с применением элементов программирования.