О постановке задач. Классификация уравнений в частных производных.
Дифференциальные уравнения в частных производных представляют собой одну из наиболее сложных и одновременно интересных задач вычислительной математики. Эти уравнения характеризуются тем, что для их решения не существует единого универсального алгоритма, и большинство задач требует своего собственного особого подхода. Уравнениями в частных производных описывается множество разнообразных физических явлений, и с их помощью можно с успехом моделировать самые сложные явления и процессы (диффузия, гидродинамика, квантовая механика, экология и т. д.).
Дифференциальные уравнения в частных производных требуют нахождения функции не одной, как для ОДУ, а нескольких переменных, например, f (х,у) или f(x,t). Постановка задач (см. разд. 11.Т) включает в себя само уравнение (или систему уравнений), содержащее производные неизвестной функции по различным переменным (частные производные), а также определенное количество краевых условий на границах расчетной области.
Несмотря на то, что Mathcad обладает довольно ограниченными возможностями по отношению к уравнениям в частных производных, в нем имеется несколько встроенных функций (см. разд. 11.3). Решать уравнения в частных производных можно и путем непосредственного программирования пользовательских алгоритмов (см. разд. 11.2). Автор совершенно сознательно сначала рассматривает численные методы для решения уравнений в частных производных, а уже затем описывает предназначенные для этого встроенные функции, чтобы читатель ясно осознавал, каким образом Mathcad производит расчеты. "Слепое" использование встроенных функций для решения уравнений в частных производных не всегда бывает успешным, и ответственность за верный выбор их параметров часто ложится на пользователя, которому необходимо четко представлять основные принципы функционирования численных алгоритмов, примененных во встроенных функциях.
Остановимся сначала на общей классификации уравнений в частных производных, принятой в математике, а затем более детально поговорим о постановочной части соответствующих задач на примере различных вариаций уравнения диффузии тепла, которое допускает наглядную физическую интерпретацию.
Классификация уравнений в частных производных
Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяются спецификой уравнения). По своему названию уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции и (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например, пространственной переменной х и времени t. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например, u(x,t) в некоторой области определения аргументов 0<x<L и 0<t<T. Граничные условия определяются как заданные временные зависимости функции и, или производных этой функции, на границах расчетной области 0 и L, а начальные – как заданная и (х, 0).
Сами уравнения в частных производных (несколько условно) можно разделить на три основных типа:
- параболические – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком;
- гиперболические– содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, входящие в уравнение с разными знаками;
- эллиптические – содержащие только вторые производные, причем одного знака.
Некоторые более сложные уравнения нельзя однозначно подогнать под приведенную классификацию, тогда говорят о гибридных типах уравнений.