Пример: уравнение диффузии тепла
На протяжении всей главы мы будем использовать в качестве примера очень наглядное и имеющее различные, от очевидных до самых неожиданных, решения уравнение теплопроводности.
Двумерное динамическое уравнение
Рассмотрим следующее параболическое уравнение в частных производных, зависящее от трех переменных – двух пространственных х и у, а также от времени t:
Примечание
Выражение в скобках в правой части уравнения (сумму вторых пространственных производных функции и часто, ради краткости, обозначают при помощи оператора Лапласа: Δu).
Это уравнение называется двумерным уравнением теплопроводности или, по-другому, уравнением диффузии тепла. Оно описывает динамику распределения температуры u(x,y,t) на плоской поверхности (например, на металлической пластине) в зависимости от времени (рис. 11.1). Физический смысл коэффициента о, который, вообще говоря, может быть функцией как координат, так и самой температуры заключается в задания скорости перетекания тепла от более нагретых областей в менее нагретые. Функция φ (x,y,t,u) описывает приток тепла извне, т. е. источники тепла, которые также могут зависеть как от пространственных координат (что задает локализацию источников), так и от времени u от температуры u.
Рис. 11.1. Физическая модель, описываемая двумерным уравнением теплопроводности
Для того чтобы правильно поставить краевую задачу для двумерного уравнения теплопроводности, следует определить следующие дополнительные условия:
- граничные условия, т. е. динамику функции u(x,y,t) и (или) ее производных на границах расчетной области;
- начальное условие, т. е. функцию u (х, у, t).
Примечание
Если рассматривается не одно уравнение в частных производных, а система уравнений, то соответствующие начальные и граничные условия должны быть поставлены для каждой из неизвестных функций.