Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4

Интерполяция, аппроксимация и регрессия

Регрессия и визуализация ее результатов

Еще один широко используемый вид аппроксимации – регрессия. Она заключается в нахождении параметров некоторой функции регрессии, при которой график этой функции проходит в "облаке" узловых точек, обеспечивая наименьшую среднеквадратичную погрешность их представления. В отличие от интерполяции, при регрессии найденная функция не дает точного значения ординат в узловых точках – она просто минимизирует погрешность вычислений в этих точках.

Для решения задач регрессии используется функция ядра:

Эта функция ищет приближение для списка данных data методом наименьших квадратов в виде линейной комбинации функций funs переменных vars. Данные data могут иметь форму {{x1, y1,…, f1}, {х2, у2,…, f2 },…}, где число координат х, у,… равно числу переменных в списке vars. Также данные data могут быть представлены в форме {f 1, f 2, =..} с одной координатой, принимающей значения 1, 2… Аргумент funs может быть любым списком функций, которые зависят только от объектов vars.

Следующие примеры показывают приближение исходных данных степенным полиномом и линейной комбинацией двух функций:

Здесь в первом примере выполняется полиномиальная регрессия со степенью полинома, равной 2. Максимальная степень на 1 меньше числа пар исходной зависимости (в нашем случае их 4) – при такой степени регрессия вырождается в обычную полиномиальную аппроксимацию, которая рассматривалась ранее.

Рисунок 5.14 показывает несколько иной путь проведения полиномиальной аппроксимации – исходные данные заданы объектом-списком data.

В конце документа рис. 5.14 показано построение графика аппроксимирующего полинома второй степени и точек исходных данных. Заметно, что при регрессии график полинома проходит в середине "облака" исходных точек и не укладывается на них точно.

В уроке 12 будут рассмотрены дополнительные функции для проведения регрессии. Они входят в различные пакеты расширения системы Mathematica 3/4.

Рис. 5.14. Полиномиальная регрессия с графическим выводом