Разложение функций в ряды Тейлора и Лорана
Задача 3.8
Разложить в ряд Маклорена функцию f(x,y) = (1+x)m(1+y).
На заметку
Рядом Маклорена называется разложение функции в ряд Тейлора в окрестности нуля.
Определяем, как обычно, функцию.
Разложение в ряд осуществляется с помощью процедуры mtaylor(). При этом в качестве параметров указываются раскладываемая в ряд функция, список переменных, по которым следует выполнять разложение, (если точка, в окрестности которой это разложение выполняется, не указана, то разложение выполняется в окрестности нуля), степень "обрыва" ряда (будут отброшены слагаемые, суммарная степень которых при х и у больше либо равна 4), а также вес этих переменных (по умолчанию вес всех переменных одинаков и равен 1). В данном случае указан список [2.1] – "присутствие" переменной х в два раза уменьшено (если судить по степеням) по сравнению с у.
Если нужен какой-то конкретный коэффициент разложения, используют процедуру coeftayl(), указав параметрами процедуры функцию, переменный и точку разложения (в виде равенства), а также список индексов для данного коэффициента по каждой переменной.
Однако, как известно, в ряд Тейлора можно раскладывать только аналитические функции (для которых в данной точке существуют производные всех порядков).
Более общие разложения, по сравнению с рядом Тейлора, можно получить, используя процедуру series (). Пример ее использования приведен ниже.