Функции Бесселя
Функции Бесселя, являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений вида z2 y" + zy'+ (z2 – n2)у = 0, широко используются в анализе и моделировании волновых процессов. В системе Mathematica к этому классу относятся следующие функции:
- Bessell[n, z] – модифицированная функция Бесселя первого рода I(n, z);
- BesselJ[n, z] – функция Бесселя первого рода J(и, z);
- BesselK[n, z] – модифицированная функция Бесселя второго рода К(п, z);
- BesselY[n, z] – функция Бесселя второго рода Y(n, z).
Соотношения между этими функциями хорошо известны. Следующие примеры показывают вычисление функций Бесселя.
| Ввод (In) | Вывод (Out) |
|---|---|
| Bessell[0,l.] | 1.26607 |
| Bessell[3,l.] | 0.0221684 |
| Bessell[l,2.+3.*I] | -1.26098 + 0.780149 I |
| Bessell[2.2.+3.*I] | 1.25767 + 2.31877 I |
| BesselK[2.2.+3.*I] | -0.0915555 + 0.0798916 I |
| BesselY[2.2.+3.*I] | -2.3443 + 1.27581 I |
| BesselY[2.2.+3.*I] | |
| N[BesselJ[l,0.5]] | 0.242268 |
| N[BesselJ[l, 2+1*3]] | 3.78068-0.812781 I |
Приведем также пример на вычисление производной от функции Бесселя:
D[BesselJ[1, x], (x, 2)] 1 / 2(-BesselJ[1, x] + 1 / 2(-BesselJ[1, x] + BesselJ[3, x]))Нетрудно заметить, что результат в данном случае также представлен через функции Бесселя.
В другом примере – вычислении интеграла от функции Бесселя – результат выражается через гипергеометрическую функцию:
Integrate[BesselJ[2, x], x] 1 / 24 x3 HypergeometricPFQ[{2 / 3}, {5 / 2.3}, -x2 / 4]На рис. 6.7 показаны графики функций Бесселя Bessell и BesselJ первых четырех порядков.
Рис. 6.7. Графики функций Бесселя Bessell (сверху) и Bessell (снизу) первых четырех порядков
Графики других функций Бесселя вы можете получить самостоятельно. Они представляют меньший интерес, чем графики, приведенные на рис. 6.7.