Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4

Функции Эйри

Функции Эйри представляют собой независимые решения линейного дифференциального уравнения w" – zw = 0. В Mathematica эти функции представлены следующим набором:

  • AiryAi [z] – возвращает значение функции Эйри Ai(z);
  • AiryAiPrime [ z ] – возвращает значение производной функции Эйри Ai '(z);
  • AiryBi [z] – возвращает значение функции Эйри Bi(z);
  • AiryBiPrime [z] – возвращает производную функции Эйри Bi'(z).

Ниже представлены примеры на вычисление функций Эйри.

Ввод (In) Вывод (Out)
AiryAi [2. +3.*I] 0.00810446 + 0.131178 I
AiryAi[l.] 0.135292
AiryBi [2. +3.*I] -0.396368-0.569731 I
AiryBiPrime [2. +3. *I] 0.349458-1.10533 I

С функциями Эйри связаны многие специальные математические функции. Эта связь проявляется и при выполнении различных математических операций над функциями Эйри:

D[AiryAi[x], x]
AiryAiPrime[x]
Integrate[AiryBi[x], x]
  
{xGamma[1/3 ] HypergeometricPFQ[{1/3 }, {2/3.4/3}, x3/9]} /{3 31/6 Gamma [ 2/3 ] Gamma [ 5/3 ]}
  
{x2Gamma[1/3 ] HypergeometricPFQ[{1/3 }, {2/3.4/3}, x3/9]} /{3 35/6 Gamma [ 4/3 ] Gamma [ 5/3 ]}
  
Series[AiryBi[x], {x, 0.5}]
{1 /31/6xGamma[2/3]}+ {31/6x /Gamma[1/3]}+ {x3 /631/6Gamma[2/3]}+{x4 /435/6Gamma[1/3]}+O[x]6

Графики функций, Эйри представлены на рисунке 6.11.

Нетрудно заметить, что при х < 0 они имеют колебательный характер.

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4 › Специальные математические функции › Функции Эйри
Рис. 6.11. Графики функций Эйри (сверху) и их производных (снизу)

Бета-функция и родственные ей функции

Класс бета-функций, имеющих специальное интегральное представление, в Mathematica представлен следующим набором:

  • Beta [а, b] – эйлерова бета-функция В(a, b);
  • Beta[z, а, b] – неполная бета-функция;
  • Beta[z0, zl, a, b] – обобщенная неполная бета-функция Beta [z1, a, b] – Beta[z0, а, b];
  • BetaRegularized [z, a > b] – регуляризированная неполная бета-функция I(z,a,b) = Betafz, a, b]/Beta[a, b];
  • BetaRegularized [z0, zl, a, b] – регуляризированная обобщенная неполная бета-функция I(z1l,a,b) – I(z0, a, b).

Примеры на вычисление этих функций представлены ниже.

Ввод (In) Вывод (Out)
Beta[l.,2.] 0.5
Beta[l.,2.,3.] 0.0833333
Beta[2.+3.*I,4.+6.*I,l,2] 4. – 12. I
BetaRegulari zed [0.1.1.2] 0.19
Если Вы заметили ошибку, выделите, пожалуйста, необходимый текст и нажмите CTRL + Enter, чтобы сообщить об этом редактору.