Функции Эйри
Функции Эйри представляют собой независимые решения линейного дифференциального уравнения w" – zw = 0. В Mathematica эти функции представлены следующим набором:
- AiryAi [z] – возвращает значение функции Эйри Ai(z);
- AiryAiPrime [ z ] – возвращает значение производной функции Эйри Ai '(z);
- AiryBi [z] – возвращает значение функции Эйри Bi(z);
- AiryBiPrime [z] – возвращает производную функции Эйри Bi'(z).
Ниже представлены примеры на вычисление функций Эйри.
| Ввод (In) | Вывод (Out) |
|---|---|
| AiryAi [2. +3.*I] | 0.00810446 + 0.131178 I |
| AiryAi[l.] | 0.135292 |
| AiryBi [2. +3.*I] | -0.396368-0.569731 I |
| AiryBiPrime [2. +3. *I] | 0.349458-1.10533 I |
С функциями Эйри связаны многие специальные математические функции. Эта связь проявляется и при выполнении различных математических операций над функциями Эйри:
D[AiryAi[x], x] AiryAiPrime[x] Integrate[AiryBi[x], x] {xGamma[1/3 ] HypergeometricPFQ[{1/3 }, {2/3.4/3}, x3/9]} /{3 31/6 Gamma [ 2/3 ] Gamma [ 5/3 ]} {x2Gamma[1/3 ] HypergeometricPFQ[{1/3 }, {2/3.4/3}, x3/9]} /{3 35/6 Gamma [ 4/3 ] Gamma [ 5/3 ]} Series[AiryBi[x], {x, 0.5}] {1 /31/6xGamma[2/3]}+ {31/6x /Gamma[1/3]}+ {x3 /631/6Gamma[2/3]}+{x4 /435/6Gamma[1/3]}+O[x]6Графики функций, Эйри представлены на рисунке 6.11.
Нетрудно заметить, что при х < 0 они имеют колебательный характер.
Рис. 6.11. Графики функций Эйри (сверху) и их производных (снизу)
Бета-функция и родственные ей функции
Класс бета-функций, имеющих специальное интегральное представление, в Mathematica представлен следующим набором:
- Beta [а, b] – эйлерова бета-функция В(a, b);
- Beta[z, а, b] – неполная бета-функция;
- Beta[z0, zl, a, b] – обобщенная неполная бета-функция Beta [z1, a, b] – Beta[z0, а, b];
- BetaRegularized [z, a > b] – регуляризированная неполная бета-функция I(z,a,b) = Betafz, a, b]/Beta[a, b];
- BetaRegularized [z0, zl, a, b] – регуляризированная обобщенная неполная бета-функция I(z1l,a,b) – I(z0, a, b).
Примеры на вычисление этих функций представлены ниже.
| Ввод (In) | Вывод (Out) |
|---|---|
| Beta[l.,2.] | 0.5 |
| Beta[l.,2.,3.] | 0.0833333 |
| Beta[2.+3.*I,4.+6.*I,l,2] | 4. – 12. I |
| BetaRegulari zed [0.1.1.2] | 0.19 |