Аппроксимация Чебышева-Паде
Теперь рассмотрим еще более точную рациональную аппроксимацию Чебышева-Паде. Это такая рациональная функция r[m, n](х) с числителем степени m и знаменателем степени n такой же, как и для разложения в ряд Чебышева. Функция r [m, n](х) согласуется с разложением в ряд Чебышева f(x) членом степени m+n. Мы вычислим аппроксимацию Чебышева-Паде степени (4.4), подобную обычной Паде-аппроксимации, успешно выполненной ранее:
Построим кривую ошибок:
> with(orthopoly, Т): > plot(F = ChebPadeApprox, 0..4, color=black):
Она представлена на рис. 17.4.
Максимальная ошибка и на этот раз имеет место в левой оконечной точке. Величина максимальной ошибки несколько меньше, чем ошибка при аппроксимации рядом Чебышева.
Рис. 17.4. Кривая ошибки при Паде-Чебышева рациональной аппроксимации
Главное преимущество представления в виде рациональной функции – высокая эффективность вычислений, которая может быть достигнута преобразованием в непрерывную (цепную) дробь (см. ниже). Однако полученная максимальная ошибка чуть-чуть больше заданной:
> maxChebPadeError: = abs(F(0) -ChebPadeApprox(O)); maxChebPadeError=.1236746 10-5
Мы достигли впечатляющего успеха и остается сделать еще один шаг в направлении повышения точности аппроксимации.