Интерполяция методом Лагранжа
На практике очень часто приходится иметь дело с данными, которые представлены в виде таблиц и задают зависимость одних параметров исследуемого явления от других. Задача состоит в том, чтобы по таким данным восстановить соответствующую аналитическую зависимость.
Предположим, имеется таблица значений неизвестной функции f(x) в точках х0, х1,… хn. Другими словами, известны только значения функции в этих точках: f(x), к = 0..u. По этим значениям предстоит построить такую функцию f(х), чтобы она с приемлемой точностью аппроксимировала исходную функцию f(x) (что такое приемлемая точность – вопрос отдельный!) и ее значения в точках хк совпадали со значениями функции в этих точках (которые, кстати, называются узлами). Задача построения такой функции и называется задачей интерполирования.
К задачам интерполирования прибегают не только в случаях, когда вид функции f(x) неизвестен, но и когда известное аналитическое выражение для f(x) слишком громоздко и неприемлемо для проведения вычислительных оценок.
Как правило, при интерполировании выбирается набор базисных функций и интерполирующая функция <р(х) строится в виде линейной их комбинации. Такие базисные функции, как минимум, должны быть линейно независимы на отрезке, на котором выполняется интерполирование. Часто в качестве базисных функций выбирают ограниченный базис из набора ортогональных функций – например, классических ортогональных полиномов.
На заметку
Ограниченным базис называется потому, что используются не все функции этого базиса (все функции образуют бесконечное множество). По полному базису можно разложить практически любую функцию, удовлетворяющую условию квадратичной интегрируемости (интеграл от квадрата функции на данном интервале должен быть ограниченным). Однако чтобы однозначно разложить функцию по бесконечному базису, необходимо либо иметь бесконечное число условий (что, понятно, недостижимо), либо знать саму функцию (в этом случае нет необходимости выполнять интерполяцию). Поскольку функция интерполируется по конечному числу точек, используется конечный базис. В результате в общем случае выражение для функции получаем приближенное – "точное попадание" является случайностью.
Ниже рассмотрим некоторые наиболее популярные методы построения интерполяционных функций.
При интерполяции методом Лагранжа интерполяционная функция строится в виде полинома, а в качестве базисных функций выбираются степенные функции из последовательности 1, х, хг,… х",…. Количество таких функций определяется числом базовых точек. Таким образом, при построении интерполяционного полинома по N точкам степень полинома равна N-1. Сама интерполяционная функция L(x) ищется в виде L(х) = f(x)<*>,(*) где f(x,) есть табличные значения интерполируемой зависимости в узлах, а функции <рХх) являются полиномами степени N и равны нулю во всех узловых точках, кроме той, индекс которой совпадает с индексом функции.
Другими словами, имеет место соотношение <pAx,) = s,1 > где < – символ Кронекера. Следовательно, можем создать процедуру, которая по базовым точкам и значениям функции в этих точках будет строить интерполяционный полином Лагранжа. Программный код процедуры lagr() приведен ниже. У процедуры всего один параметр – список с узловыми точками и значениями функции. С точки зрения Maple этот параметр является списком, элементы которого также являются списком. Данный факт отражен указанием типа параметра list (list). Будем исходить из предположения, что узловая точка и значение функции в этой точке являются списком из двух элементов (первый – узел, второй – значение функции в узле). Эти списки, в свою очередь, объединяются в общий список, образуя тем самым параметр процедуры.
