Решение уравнений
Встроенные функции Maple при аналитическом решении уравнений исключительно эффективны. При решении уравнений в численном виде это справедливо вдвойне. В последнем случае может быть полезна процедура fsolve(). Первым ее параметром указывается решаемое уравнение или система уравнений, после чего следует ввести переменную, относительно которой решается уравнение, или множество переменных для системы уравнений. Кроме того, с процедурой допускается использование некоторых опций. Эти опции описаны ниже в табл. 7.3.
Таблица 7.3. Опции процедуры fsolve ().
| Опция | Описание |
|---|---|
| avoid | В качестве значения этой опции указывается список равенств, определяющих те значения переменной (или переменных), которые следует игнорировать при поиске решения |
| complex | Если указать эту опцию, поиск решений будет осуществляться на множестве комплексных чисел |
| fulldlgits | Данная опция позволяет поддерживать высокую точность округления при промежуточных расчетах |
| maxsols | Эта опция используется при работе с полиномами. Ее значением указывается число определяемых процедурой корней. В качестве корней выбираются наименьшие |
Кроме перечисленных опций, в процедуре можно указывать интервал, на котором выполняется поиск решений. Сделать это можно двумя способами. В первом случае просто указывается диапазон, во втором – переменная и, после знака равенства, диапазон ее изменения. При поиске решения исследуются и граничные точки диапазона. Ниже приведены примеры использования процедуры fsolve() для нахождения корней полинома х(х -2)(2 +4).
Прежде всего, задаем следующую функцию.
Если для поиска корней указать диапазон 0..1, то корень, соответствующий граничной точке диапазона, будет определен так.
Внимание!
Если первым аргументом процедуры fsolve() указано не непосредственно уравнение (равенство), а выражение, то решаться будет уравнение, получаемое путем приравнивания этого выражения к нулю.
Для поиска всех корней, в том числе и комплексных, при вызове процедуры указываем опцию complex.
Однако очень часто приходится не просто искать корни уравнений, а еще и демонстрировать умение создавать соответствующие процедуры для их определения. В качестве примера рассмотрим процедуру, в рамках которой вычисление корней уравнения вида f(x) = 0 осуществляется методом половинного деления интервала. Суть метода состоит в следующем. Для поиска решения выбирается начальный интервал, на котором будет выполняться поиск решения.
Поиск осуществляется, если функция f(x) на границах интервала принимает значения разных знаков. В случае непрерывной функции данный факт является гарантией того, что на интервале имеется по крайней мере один корень уравнения. Далее определяется середина интервала, а также значение функции в этой точке. Данная срединная точка становится новой граничной точкой интервала – в эту точку смещается та граница интервала, для которой знак функции совпадает со знаком функции в срединной точке. После этого для нового интервала выбирается центральная точка и т.д. Таким образом, на каждом шаге интервал, содержащий корень уравнения, уменьшается в два раза.