Иллюстрированный самоучитель по Maple 9

Решение уравнений

Процесс продолжается до тех пор, пока длина интервала не станет меньше погрешности, с которой следует вычислить корень. Ниже приведен код процедуры DoublDiv(), согласно которой находятся корни выражения ff. Переменная, относительно которой ищутся корни, а также интервал определяются равенством xint. Погрешность задается параметром epsilon.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Численные методы › Решение уравнений

Основная часть кода данной процедуры нужна для отслеживания особых ситуаций, когда в процессе поиска решения на одном из этапов пробная точка случайно совпадает с корнем. Однако прежде выполняется ряд инициализаций. Так, локальная переменная х определяется как левая часть равенства xint, указанного параметром процедуры. Переменным а и b присваиваются в качестве значений левая и правая границы диапазона, на котором ищется корень. А переменная f определяется как функциональная зависимость, соответствующая выражению, для которого ищутся корни.

Внимание!
Перед тем, как выделять функциональную зависимость процедурой unapply(), указанное параметром процедуры выражение f £ преобразуется в формат представления чисел с плавающей точкой. Для этого используется процедура evalf (). Последнее не является необходимым, но рекомендуется. Причина заключается в том, что при вычислении логических значений работать в формате представления чисел с плавающей точкой намного удобнее. Кроме того, это позволяет избежать ошибок, связанных с невозможностью аналитического исследования громоздких выражений на предмет их знака
.

После определения всех необходимых параметров проверяется знак произведения значений функции на границах диапазона. Если произведение больше нуля, то, значит, функция на границах имеет значения одного знака и метод вычисления корня путем деления интервала пополам применен быть не может. В этом случае выводится сообщение соответствующего содержания. В противном случае, если произведение значений функции на границах интервала меньше нуля (ситуацию, когда такое произведение равно нулю, рассмотрим отдельно), выполняется условный оператор while. Проверяемое при этом условие состоит в том, что длина интервала превышает погрешность и одновременно значение функции в центре этого интервала не равно нулю.

Внимание!
О том, что точка х=с является центром интервала, станет известно после выполнения первой команды в операторе while. Именно там переменной с будет присвоено значение. Как правило, в таких ситуациях при работе с иными программными пакетами возникает ошибка. Но только не в Maple! Даже если переменной не присвоено значение, выражение для функции в точке будет вычислено в символьном виде. Поскольку тождественно нулю оно не равно, процедура должна работать корректно. Однако для страховки можно разместить команду инициализации переменной с до начала выполнения оператора while, например сразу после инициализации локальных переменных а и b, а команду присваивания нового значения этой переменной перенести в конец операторного блока
.

До тех пор, пока условие не будет выполнено, интервал уменьшается на каждом шаге в два раза. Новые границы выбираются в зависимости от знака значения функции в центре интервала и на его границах.

Наконец, рассматривается ситуация, когда произведение значений функции на границах начального интервала равно нулю. В этой ситуации проверяется на равенство нулю значение функции в точке х=а, и если это значение равно нулю, оно и возвращается в качестве решения. В противном случае решением является граничная точка х=b.

Внимание!
Согласно определению процедуры, в том случае, если обе границы первоначального интервала одновременно являются корнями, возвращен будет тот, который соответствует первой (нижней) указанной границе диапазона
.

Если Вы заметили ошибку, выделите, пожалуйста, необходимый текст и нажмите CTRL + Enter, чтобы сообщить об этом редактору.