Процедуры пакета CurveFitting
Интервал для отображения графиков не случайно указан до 1, а не до 3, как можно было бы предположить. Дело в том, что в последнем случае разницу между интерполяционными функциями заметить вообще невозможно. Отсюда напрашивается вывод, что выбор той или иной процедуры для построения интерполяционной функции – вопрос сугубо индивидуальный и заранее, до постановки задачи, решен быть не может.
Наконец, процедура LeastSquares() из пакета CurveFitting, которую здесь рассмотрим, позволяет аппроксимировать табулированную функцию, используя метод наименьших квадратов. Метод используется, как правило, в тех случаях, когда число подгоночных параметров (тех параметров, которые могут выбираться пользователем) существенно меньше числа базовых табличных точек.
Идея метода состоит в том, чтобы найти такие значения для параметров аппроксимирующей функции, что ее отклонение от табличных значений в узловых точках было бы минимальным. Для этого вводят функцию где {а} – набор параметров аппроксимирующей функции – узловые точки и значения аппроксимируемой функции в этих точках соответственно – весовые множители, которые обычно выбираются равными единице. Задача состоит в том, чтобы за счет параметров {а} минимизировать записанную выше функцию. Общий метод решения заключается в нахождении частных производных от этой функции по каждому из параметров, после чего полученные выражения приравниваются к нулю, такая система решается и полученные в качестве ее решения точки исследуются на экстремум.
Внимание!
Если аппроксимирующая функция получена по методу наименьших квадратов, то никакой гарантии в том, что она проходит не то что через все, а хотя бы через одну базовую табличную точку, нет. В этом смысле метод наименьших квадратов принципиально отличается от рассмотренных ранее способов построения интерполяционной функции. Именно поэтому функцию, получаемую при использовании метода наименьших квадратов, будем называть не интерполирующей, аппроксимирующей.
Использование процедуры LeastSquares () позволяет сразу получить желаемый результат. Для этого следует ввести соответствующую команду, указав ее параметрами либо два списка с узлами и значениями функции, либо один с элементами-списками, в которых первый элемент является узловой точкой, а второй – значением функции в этой точке. После этого указывается название переменной. Если на этом остановиться, то после выполнения процедуры результат будет возвращен в виде линейной зависимости по аргументу. Ниже в табл. 7.2 представлено детальное описание опций, которые, помимо обязательных аргументов, могут использоваться вместе с процедурой LeastSquares().
Таблица 7.2. Опции процедуры LeastSquares ().
| Опция | Описание |
|---|---|
| curve | Определяет общий вид аппроксимирующей кривой. Зависимость должна быть линейной по параметрам! На зависимость функции от аргумента ограничения не накладываются |
| parame | Может использоваться в тех случаях, когда явно задана опция curve. Значение данной опции задается в виде списка переменных, которые следует считать параметрами оптимизации. Если значение не задано, параметрами оптимизации считаются все переменные, отличные от той, что указана в параметрах процедуры как независимая |
| weight | Определяет весовые множители. Ее значением может быть список из неотрицательных чисел, а число элементов списка должно строго соответствовать числу узловых точек |
Для того чтобы продемонстрировать работу процедуры LeastSquares (), поступим следующим образом. Сначала зададим базовую функцию, которую затем будем восстанавливать по табличным данным. Функцию эту возьмем в следующем виде.
Чтобы задача не была слишком простой, внесем некий элемент случайности. Для этого воспользуемся генератором случайных чисел. Табулируем значения функции так: после вычисления значения функции в узле согласно приведенной выше формуле, к этому значению будем добавлять случайное число в диапазоне от 0 до 1. Таким образом, табличные значения функции будут иметь погрешность примерно 10 процентов.
Ниже показана группа команд, в которой инициализируется генератор случайных чисел (численный параметр указан для того, чтобы при каждом новом запуске генерировалась одна и та же последовательность чисел) и определяется процедура RV(), генерирующая случайное число в диапазоне от 0 до 100. Затем переменная В заполняется парами значений узлов и функции (с учетом погрешности), и конечное ее значение отображается в области вывода. При заполнении списка В значения функции преобразуются в формат чисел с плавающей точкой. Кроме того, поскольку процедура RV() генерирует случайное число в диапазоне от 1 до 100 (а нужно, чтобы оно было в диапазоне от 0 до 1), это число делится на 100.
