Встроенные процедуры Maple
Очевидно, что линейная сплайн-интерполяция является достаточно грубой. По большому счету, это просто соединение интерполяционных точек линиями. Такой тип интерполяции используется крайне редко. Что касается использования полиномов прочих степеней, начиная со второй, то визуально особой разницы между ними (во всяком случае в данном примере) нет.
Однако не следует забывать, что степень сплайн-полиномов определяет гладкость полученных кривых. Это важно особенно в тех случаях, когда от полученных в результате интерполяции функций следует брать производные. В этом смысле полиномиальная интерполяция по сравнению со сплайн-интерполяцией обладает тем преимуществом, что и интерполяционный полином, и производные от него однозначно являются функциями непрерывными и гладкими. Поэтому интересно сравнить результаты интерполяции полиномом и сплайн-интерполяции. Для этого построим графики соответствующих интерполяционных функций.
Можно видеть, что все три графика (сплайны третьей и четвертой степени, а также интерполяционный полином четвертой степени) практически совпадают, особенно в левой части рисунка. Правда, интерполяционный полином является более гладкой функцией по сравнению с первыми двумя. При этом у читателя может возникнуть вопрос: почему интерполяционный полином, степень которого равна четырем, не совпадает со сплайн-функцией, построенной на основе полиномов четвертой степени?
Ответ следует искать в тех условиях, из которых определяется сплайн-функция. Так, при выполнении сплайн-интерполяции полиномами степени m по n+1 точкам задействовано п сплайн-полиномов. В каждом из этих полиномов следует определить по m+1 коэффициенту, и всего получаем, таким образом, n (m+1) неизвестных коэффициентов. Равенство интерполяционной функции в узловых точках табличным значениям задает n+1 условий на неизвестные коэффициенты. Кроме того, на внутренних узлах (их всего n-1) предполагается непрерывность производных до порядка т-1 включительно, что дает, вместе с непрерывностью самой функции, (n-1+(m-1)(n-1))=m(n-1) условий.
Таким образом, на n(m+1) неизвестных коэффициентов накладывается (m(n-1)+(n+1))=(n(m+1)-(m-1)) условий. Этого, разумеется, мало – необходимо еще т-1 условий. Их, как правило, получают, требуя равенства нулю соответствующего числа старших непрерывных производных на границах области интерполирования. Это так называемый естественный выбор дополнительных условий. В принципе, с математической точки зрения, их можно выбирать произвольным образом – в зависимости от решаемой задачи. В частности, условия эти можно подбирать так, чтобы при интерполяции сплайнами степени n в результате получался интерполяционный полином Лагранжа.