Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Дробная часть вещественного числа (функция FractionalPart)

Как легко убедиться, результаты совпадают, так что беспокоиться вроде бы не о чем. Но вот если положить n = 50, появляется предупреждение о недостаточной разрядности.

А при n = 1000 результат выглядит вообще странно: 0.х10³⁴, да и предупреждений целых два! Давайте разберемся, в чем тут дело. Для этого придется проанализировать ход вычислений. Сначала вычисляется Pi с некоторой точностью, притом с запасом (не более $MaxExtraPrecision десятичных знаков, как следует из предупреждения), а затем это число умножается на степень 10, так что в итоге получается 10^ (n-l) *Pi с некоторой точностью, после чего мы пытаемся взять у этого полученного числа его дробную часть. Но вот теперь и оказывается, что число было вычислено с недостаточной точностью, и система Mathematica предупреждает об этом! Впрочем, выход очевиден: нужно просто увеличить значение $MaxExtraPrecision. Но увеличение будет весьма значительным, и потому лучше всего сделать так, чтобы увеличенное значение $MaxExtraPrecision использовалось системой Mathematica только при вычислении результата, нужного для функции FractionalPart. Иными словами, увеличенное значение $MaxExtraPrecision нужно сделать локальным. Для этого достаточно воспользоваться функцией Block. Тогда можно написать следующую тестовую программу.

Едва ли стоит полностью приводить распечатку результата, но вот отдельные ее части я в но заслуживают обсуждения. Вот банальное начало, подтверждающее правильность задания в программе степеней, умножений и всей подобной тривиальной чепухи, в записи которой так легко допустить ошибку.

Правильность цифр можно проверить по таблицам, имеющимся почти в любом солидном справочнике по математике или в какой-нибудь монографии, посвященной арифметике произвольной разрядности, например во втором томе бессмертного труда Дональда Кнута Искусство программирования. Что касается продолжения распечатки, то в ней правильность цифр проверить уже сложнее. Ведь найти книгу с более чем пятидесятые знаками л существенно сложнее. Из опыта знаю, что на территории СССР научному сотруднику, не связанному со спецслужбами вроде КГБ или ГРУ, получить доступ к серьезному фолианту по истории вычисления я практически было невозможно. Тем больше наша благодарность организатору первых математических олимпиад в Ленинграде (и СССР; первые олимпиады в Москве и Киеве проводились только через год) Василию Августовичу Кречмару, который в последних изданиях своего труда Задачник по алгебре (предназначенного для любознательных школьников!) поместил результат вычисления π с 2035 знаками после запятой. Разрабатывая арифметику произвольной разрядности для различных программных комплексов (в том числе и систем компьютерной алгебры), я при проверке получаемых результатов неоднократно пользовался шестым изданием этого бестселлера. Вполне подойдет эта книга и для проверки (хотя бы и выборочной) результатов, выдаваемых нашей программой. Так что можем читать нашу распечатку дальше.

Вы заметили, что распечатан один "лишний" знак? А знаете, почему? Продолжаем читать дальше.

И вот опять появились "лишние" знаки. Правда, и в этом случае после точки стоит сразу 0. Но не случайность ли это?