Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Числа Фибоначчи и цепные дроби

А теперь давайте возьмем логарифмы по основанию 2.

Если и это вам ничего не напоминает, взгляните вот на это.

Так что все звенья цепной дроби (кроме последнего), в которую разлагается число представляют собой степени числа а, показателями которых служат числа Фибоначчи F_n, F_n-1, F_n-2,,…, F₂, записанные в обратном порядке! То же самое имеем и для а = 3, k = 25.

Последний элемент цепной дроби, как видим, равен n+1. Конечно, фокус основан на тождестве:

Хотя тождество справедливо для всех я, таких, что a^Fk =1 (k = 0, 1,…, n+1), именно для целых а правая часть будет "настоящей" цепной дробью.

Здесь целая часть выделена полужирным, а остальные элементы курсивом через один, чтобы их было легче отличить. Видно, как быстро убывают элементы дроби. Но вот если основание а не является целым числом, картина может измениться кардинально.