Исследование функций и построение графиков
Нахождение наибольшего и наименьшего значений (глобальных экстремумов)
Если область определения дифференцируемой функции состоит из нескольких отрезков, то, чтобы найти ее глобальные экстремумы, можно сначала найти ее локальные экстремумы, а затем значения на концах отрезков. Из этих значений и нужно выбрать наибольшее и наименьшее.
В общем, нет ничего сложного, если, конечно, все вышеперечисленные операции выполняются без проблем.
Нахождение интервалов выпуклости и точек перегиба
Найдем интервалы выпуклости и точек перегиба функции y2= х4 -6х2 -6х+1. Сначала введем функцию в систему Mathematica.
y2=x^4-6x^2-6x+11-6x-6x2 + x4Теперь находим вторую производную.
D[y2,{x,2}]
-12 + 12 х2.
Так как вторая производная положительна при |x| >1, то (-∞, -1) и (1, ∞) – интервалы выпуклости вниз, а (-1, 1) – интервал выпуклости вверх. Поскольку в точках х = -1 и х = 1 функция меняет направление выпуклости, эти точки являются точками перегиба. Впрочем, в этом можно убедиться и иначе: третья производная:
0[y2,{x,3}]/.x > 1 240[y2,{x,3}]/.x > -1-24В этих точках отлична от 0.
Вот график функции:
