Производные от неявно заданных функций
Очень часто приходится вычислять производные функций, которые заданы в неявном виде. Задаются такие функции, как правило, с помощью уравнений, в которые входит как переменная (или переменные – для функции нескольких переменных), так и сама функция. Принцип вычисления производной в этом случае достаточно прост – производная вычисляется от всего уравнения (его правой и левой части). При этом только следует иметь в виду, что одна из переменных в уравнении является функцией остальных.
Для вычисления производных от неявно заданных функций в Maple предлагается процедура implicitdiff(). Способы ее вызова рассмотрим на примерах, которые приведены ниже.
Задача 2.9
Найти производную функции у(х), заданной неявно: х2 +2ху -у=2х.
Сначала построим график функции, от которой следует искать производную. Процедура implicitplot() позволяет строить графики функций, заданных в неявном виде. Однако доступной процедура становится только после подключения пакета plots с помощью команды with().
Внимание!
В пакете plots имеется процедура changecoords (), название которой совпадает с названием стандартной процедуры changecoords (), доступной и без подключения пакета. Выше можно видеть сообщение о том, что в результате подключения пакета эта процедура была переопределена.
Первым аргументом процедуры является уравнение, задающее функцию, после чего следует диапазон изменения переменных х и у. Остальные опции уже использовались ранее и читателю знакомы, кроме опции thickness, которая определяет толщину линии (значение – целое число; в предыдущих версиях Maple – в диапазоне от 0 до 3, а в Maple 9 – от 0 до 15).
Для вычисления производной воспользуемся, как уже отмечалось, процедурой implicitdiff(), первым параметром которой является выражение, неявно задающее функцию, вторым – функция, от которой нужно искать производную, и, наконец, третьим параметром – переменная, по которой вычисляется производная.
Левая часть равенства нужна исключительно для "художественного" оформления результата.