Вычисление производных функций, заданных параметрически
При вычислении производных функций, заданных параметрически, по сравнению с явно заданными функциями, принципиально ничего не меняется. Однако сама процедура вычисления производных (особенно высших порядков) становится несколько сложнее.
Рассмотрим пример.
Задача 2.7
Найти производную функции, заданной параметрически: x(t) = acos(t) и y(t) = bsin(t).
Переменной х присвоим значение.
Так же поступим и с переменной у.
Теперь х и у являются выражениями, которые зависят от переменной-параметра t; по этому параметру их можно дифференцировать. Поэтому остается только воспользоваться приведенной выше формулой для производной функции, заданной в параметрическом виде.
Построим график функции и ее производной с помощью процедуры plot(). При построении графика только одной функции, заданной в параметрическом виде, первым параметром процедуры указывается список, элементами которого являются выражения, определяющие зависимость х и у от переменной-параметра, а также диапазон изменения параметра. Если нужно построить графики сразу нескольких параметрически заданных функций, то в качестве первого аргумента процедуры plot() указывается список, элементами которого являются списки, составленные по описанному выше принципу: в каждом списке три элемента, первые два задают параметрические зависимости, а третий определяет диапазон изменения параметра.
Внимание!
Именно наличие третьего параметра в списке при отображении заданной в параметрическом виде функции является индикатором того, что строится график параметрической функции, а не графики двух разных функций.
Поскольку в исходных параметрических зависимостях х и у зависят от параметров а и b, при построении графиков эти зависимости следует поделить на соответствующие коэффициенты.
Следует обратить внимание на то, что при определении заголовка использовался символ перехода на новую строку (\n). Данный символ рекомендуется использовать при длинных заголовках, чтобы при отображении графика такой заголовок был виден целиком.
Процесс вычисления параметрической производной можно существенно автоматизировать. Подобный подход продемонстрирован в следующем примере.