Встроенные функции
Следующие функции служат для приведения вещественных чисел к ближайшим целым по определенным правилам:
- Ceiling [х] – возвращает значение наименьшего целого числа, большего или равного х;
- Floor [х] – возвращает наибольшее целое число, не превышающее данного х;
- Quotient [n, m] – возвращает целое значение n/m, определяемое как Floor[n/m];
- Round [х] – округляет х до ближайшего целого.
Хотя аргументами этих функций указано значение х, под ним можно понимать список вещественных чисел. Следующие примеры поясняют это и наглядно иллюстрируют правила приведения к целым числам.
| Ввод (In) | Вывод (Out) |
|---|---|
| Ceiling [{-5. 9, -5..1, 5, 5.1, 5.9}] | {-5, -5, 5, б, 6} |
| Floor [{-5. 9, -5.1,, 5, 5.1, 5.9}] | {-6, -6, 5, 5, 5} |
| Round[{-5.9, -5.1,, 5, 5.1, 5.9}] | {-6, -5, 5, 5, 6} |
Ряд функций обеспечивает нахождение делителей целых чисел и наименьшего общего – кратного:
- Divisors [n] – возвращает список целочисленных делителей числа п;
- DivisorSigma [k, n] – возвращает сумму &-х степеней положительных делителей числа п;
- ExtendedGCD [n, m] – возвращает расширенный наибольший общий делитель целых чисел пит;
- GCD [n1,n2,…] – возвращает наибольший общий делитель целых чисел ni;
- LCM[n1, n2,…] – возвращает наименьшее общее кратное целых чисел ni.
Ниже представлены примеры применения этих функций.
| Ввод (In) | Вывод (Out) |
|---|---|
| LCM[124.12.6] | 372 |
| GCD [144, 12, 6] | 6 |
| Divisors [123] | {1.3.41.123} |
| DivisorSigma [17.3] | 129140164 |
| ExtendedGCD [144.12] | {12, {0.1}} |
К целочисленным функциям можно отнести также функции вычисления факториала и двойного факториала:
- Factorial [n] или n! – возвращает значение факториала числа n (n!=n* (n-1) *…*3*2*1, причем 0!=1 и 1!=1);
- Factorial2 [n] или n!! – возвращает значение двойного факториала числа п, равное п* (n-2) * (n-4) *…"%"
Ниже представлены примеры вычисления факториалов.
| Ввод (In) | Вывод (Out) |
|---|---|
| Factorial [10] | 3628800 |
| 20! | 2432902008176640000 |
| 10!! | 3840 |
| 20!//N | 2.4329Х1018 |
Mathematica способна вычислять факториалы больших чисел. Практически мгновенно (даже на компьютере с 486-м процессором) вычисляются значения до 1000!, хотя результат при этом занимает несколько страниц на экране дисплея. Можно вычислить даже 10000!, но для этого потребуется время до нескольких минут (зависит от типа компьютера). Обратите внимание на то, что управляющий символ //N за выражением дает вывод (аппроксимацию) в форме научной нотации.
Следующие функции служат для получения простых чисел и некоторых их характеристик:
- Prime [n] – возвращает п-е простое число. Например, Prime [5] возвращает пятое простое число – 11. Всего лишь доли секунды требуются системе для вычисления миллиардного простого числа: Prime [10^9] дает 22801763489;
- PrimePi [x] – возвращает количество простых чисел, не превышающих х. Например, PrimePi [10] возвращает 4;
- PartitionsP [n] – возвращает число р(п) неупорядоченных разбиений целого числа п. Например, PartitionsP [10] возвращает 42;
- PartitionsQ [n] – возвращает q(n) – число разбиений с неравными частями для целого числа п. Например, PartitionsQ [15] возвращает 27.
Эти функции полезны при решении задач теории чисел.