Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби [страница - 73] | Самоучители по математическим пакетам

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Частные случаи разложения чисел в цепные дроби

Составим теперь таблицу разложения квадратичных иррациональностей Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби и в цепные дроби.

Вот определения нужных нам функций.

Fn1[n_] := Sqrt[n ^ 4 + 2n] 
Fn2[n_] := Sqrt[2n ^ 3 + 1] / 2

Программа может быть такой.

Do[Print[n, ":", 
    ContinuedFraction[Fn1[n]], ":", 
    ContinuedFraction[Fn2[n]]], {n, 1.100} 
]

По результатам выполнения программы составляем таблицу. Обратите внимание на третий столбец этой таблицы. Вы увидите, что длина периода некоторых дробей вида Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби очень быстро увеличивается с ростом и, причем рядом с дробями, имеющими очень короткий период, соседствуют дроби, длина периода которых весьма значительна.

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби

Программу можно не менять; результат выполнения ее представлен в табл. Б.7.

Интересно отметить, что хотя квадратичная иррациональность Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби выглядит проще, чем квадратичная иррациональность Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби ее период в два раза длиннее.

Более того, в разложении квадратичной иррациональности Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби в цепную дробь лишь первый элемент периода зависит от n.

Чтобы составить таблицу разложения квадратичных иррациональностей Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби и в цепные дроби, нужно дать лишь новые определения нужным нам функциям.

Fn1[n_] := Sqrt[n ^ 6 + 2n] 
Fn2[n_] := Sqrt[2n ^ 5 + 1] / (n ^ 3)

Обратите внимание на то, что у заурядной иррациональности Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби период может быть и довольно коротким (что случается редко) и невероятно длинным! При п = 9 он содержит 69 950 элементов! Кто бы мог подумать, что разложение вполне заурядного числа Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби в цепную дробь имеет такой длинный период! Квадратный корень сам по себе, между прочим, в длине периода не виноват, поскольку период разложения Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби содержит всего лишь 266 элементов.

Составим, наконец, таблицу разложения в цепные дроби квадратичных иррациональностей: Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби

Для этого дадим определения нужным нам функциям.

Fn1[n_] := Sqrt[n ^ 2 + n + 1] 
Fn2[n_] := Sqrt[n ^ 2 + n + 1] / n

После выполнения программы составляем таблицу. Обратите внимание на второй столбец этой таблицы. Вы увидите, что вполне заурядная иррациональность Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби (квадратный корень из простенького квадратного трехчлена) имеет разложение в цепную дробь, период которой подчас длиннее, чем того можно было бы ожидать. Но куда большую неожиданность в этом смысле "подбрасывает" дробь Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби отличающаяся всего лишь наличием простенького знаменателя!