Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Частные случаи разложения чисел в цепные дроби

Как видите, число оказалось на самом деле рациональным (числители выделены курсивом, а знаменатели – полужирным), а цепная дробь – конечной, но система Mathematica об этом не догадалась. Этот случай говорит о том, что иногда нужно подсказывать, что некоторые выражения можно упрощать. Без этого в данном случае разложение не получить.

Интерес представляют и полученные разложения: все их элементы равны 2, а количество элементов равно п. Никакие другие числа этим свойством не обладают.

Некоторые полезные разложения квадратичных иррациональностей в цепную дробь.

В задачниках часто используются разложения в цепную дробь квадратичных иррациональностей вроде:

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби

Составим таблицу разложения их в цепные дроби. Сначала определим нужные нам функции.

Fn1[n_] := Sqrt[n ^ 2 + 1]
Fn2[n_] := Sqrt[n ^ 2 + 1] / 2
Fn3[n_] := Sqrt[n / 42 + 1] / n

Вот как выглядит программа для разложения этих иррациональностей.

Do[Print[n, ":",
    ContinuedFraction[Fnl[n]], ":",
    ContinuedFraction[Fn2[n]], ": ",
    ContinuedFraction[Fn3[n]]], {n, 1.100}
]

Результаты оформлены в виде таблицы.

Посмотрите внимательно на третий и четвертый столбцы этой таблицы. Вы увидите нечто весьма интересное: Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби при четном n разлагается в дробь {n/2,{4n,n}}, a при нечетном – в дробь ([n/2], {1.1,n}}. Что же касается более сложного выражения, Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби, то несколько удивительно то, что его разложение даже проще: (1, {2n^2.2}}.

Составим таблицу разложения Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби и Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби в цепные дроби. Сначала определим нужные нам функции.

Fn1[n_] := Sqrt[n ^ 2 + 2]
Fn2[n_] := Sqrt[n ^ 2 + 2] / n
Fn3[n_] := Sqrt[n ^ 2 + 2] / Sqrt[n ^ 2 + 1]

После выполнения программы составляем таблицу.

Из таблицы видно, что период всех дробей, являющихся разложением чисел Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби состоит всего лишь из двух элементов. Несколько неожиданно то, что разложение самой простой из этих квадратичных иррациональностей, Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби, имеет, пожалуй, наиболее сложный период – все его элементы зависят от n. В периодах разложения двух "более сложных" иррациональностей, Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби, Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Числа, их представление и операции над ними › Частные случаи разложения чисел в цепные дроби лишь первый элемент периода зависит от n.

Правда, зависимость эта от n нелинейная, и это как бы "компенсирует" постоянство второго элемента периода.

Если Вы заметили ошибку, выделите, пожалуйста, необходимый текст и нажмите CTRL + Enter, чтобы сообщить об этом редактору.