Операции с полиномами
Если конечные поля – понятие достаточно экзотическое, то полиномы встреча – ются сплошь и рядом во многих математических и научно-технических расчетах. В пакете расширения Algebra определен ряд новых операций над полиномами. Начнем их рассмотрение с функции PolynomialExtendedGCD:
- PolynomialExtendedGCD [poly1, poly2 ] – возвращает наибольший общий делитель двух полиномов;
- PolynomialExtendedGCD[poly1,poly2,Modulus › p] – возвращает наи – больший общий делитель двух полиномов по модулю р.
Примеры применения этой функции приведены ниже:
<< Algebra'PolynomialExtendedGCD PolynomialExtendedGCD[x^2 + 3 x + 2, Expand[(x + 1)(x + 2)], Modulus > 7] {2+ 3x+x2, (0, 1}} PolynomialExtendedGCD[ Expand[ ((12+1) z^2 + 5 z + I) (I z + 3)], Expand[ ((9+1) z + (3+1)) ((31) z +9)]] {-31+z, { -2261/3341+ 710I/3341(35/3341-3951/10023)+ (5959/20046-20531/20046)z}}Далее следует функция PolynomialPowerMod [poly1, n, (poly2, р} ], которая является существенно ускоренной версией функции PolynomialMod.
Степени ускорения свидетельствует следующий пример:
<<Algebra`PolynomialPowerMod` Timing[PolynomialPowerMod[1 + x, 200, x^3 + x^2 + 1, Prime[4750]]][[1]], Timing [PolynomialMod [ (1 + x)^200, x^ + x^2 + 1, Prime [4750] ]][[1]] {0. Second, 2.37 Second)В данном случае вычисления по функции PolynomialPowerMod оказались выполненными менее чем за 0.01 с, что дает нулевой результат.
Еще одна функция в трех ее модификациях работает с симметричными полиномами:
- SymmetricReduction [ {x1,…,xn}, k] – возвращает симметричный полином степени k по переменным {х1,…, хn);
- SymmetricReduction [f, {x1,…,xn}] – возвращает часть полинома {p,q} по переменным {х1,…,хп}, где f=p+q, причем р есть симметричная часть, q – остаток;
- SymmetricReduction [f, {x1,…,xn}, {s1,…, sn} ] – возвращает часть полинома (p,q) попеременным {x1,…,xn}, где элементарный симметричный полином представляет список {s1,…, sn}.
Следующий пример поясняет создание симметричного полинома 4-й степени по переменным {х,у, z,w,t}:
<<Algebra`SymmetricPolynomials` SyiranetricPolynomial[{x, y, z, w, t}, 4] twxy+twxz+twyz+txyz+wxyzДействие других функций поясняют следующие примеры:
SynraetricReduction[(x + y)^2 + (x + z)^2 + (z + y)^2, {x, y, z}] {2 (x+y+ z)2-2 (xy+xz+yz), 0} SymmetricReduction[x^5 + y^5 + z^4, {x, y, z}, {s1, s2, s3}] {s15-5s13s2 + 5s1s22+ 5s12s3-5s2s3, z4-z5}