Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4

Численные расчеты (пакет NumericalMath). Аппроксимация аналитических функций (Approximations).

Пакет расширения NumericalMath содержит множество полезных функций для тех, кто имеет дело с численными расчетами. В их числе функции для выполнения высокоточных аппроксимаций рациональными функциями, численного интегрирования и дифференцирования, вычисления пределов функций, решения уравнений, разложения в ряд и т. д. Ниже описано подавляющее большинство функций этого расширения. Исключены лишь отдельные функции, представляющие ограниченный интерес и несложные для самостоятельного изучения (в подпакетах Butcher, Microscope и ComputerArithmetic).

Подпакет Approximations содержит ряд функций для улучшенной рациональной аппроксимации аналитических функций. Для рациональной интерполяции и аппроксимации функций по заданным значениям абсцисс служит следующая функция:

• Rationallnterpolation [f, {x,m, k}, {x ₁ , x ₂ ,…,.x _m+k+1 } ] – возвращает аппроксимирующее функцию f выражение в виде отношения полиномов а степенью полинома числителя m и знаменателя k в абсциссах, заданных списком {x₁, x ₂ ,…, x _m+jt+1 }.

Пример применения этой функции:

Построим график погрешности аппроксимации, то есть график разности функции ril и Ехр [х] – он представлен на рис. 11.22.

Рис. 11.22. График погрешности рациональной аппроксимации экспоненциальной функции

Нетрудно заметить, что если в центральной части области аппроксимации погрешность мала (менее 5-10^-7), то у правого края она резко возрастает.

Представленная функция может использоваться и в иной форме:

В данном случае выбор абсцисс осуществляется автоматически в интервале от xmin до mах. В отличие от первого случая, когда абсциссы могли быть расположены неравномерно, в данном случае расположение их будет равномерным. Приведем пример аппроксимации функции синуса в интервале от n до n: