Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4 › Математические пакеты расширения › Функции векторного анализа [страница - 272] | Самоучители по математическим пакетам

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4

Функции векторного анализа

Помимо функций для задания и преобразования систем координат подпакет Vector Analysis содержит ряд функций собственно векторного анализа:

DotProduct [v1, v2] – возвращает скалярное произведение векторов v1 и v2, заданных в текущей системе координат;
CrossProduct [v1,v2] – возвращает векторное произведение векторов v1 и v2, заданных в текущей системе координат;
ScalarTripleProduct [v1, v2, v3 ] – возвращает тройное скалярное произведение для векторов v1, v2 и v3, заданных в текущей системе координат;
DotProduct [vl, v1, coordsys ] – возвращает скалярное произведение векторов v1 и v2, заданных в системе координат coordsys;
CrossProduct [v1, v2, coordsys] – возвращает векторное произведение векторов v1 и v2, заданных в системе координат coordsys.

Примеры выполнения этих операций представлены ниже:

SetCoordinates[ParabolicCylindrical[ ]] 
  
ParabolicCylindrical[Uu, W, Zz] 
  
DotProduct[{1.2, 1.1, 0}, {5.4, -2, 1.2}] 
-12.8093
  
CrossProduct[{1.2, 1.1, 0}, {5.4, -2, 1.2}] 
{-1.78157, 0.0774597, -17.8476} 
  
ScalarTripleProduct[{1, 0, 1}, {1, 1, 0}, {0, 1, 1}, Cartesian] 
2

Для вычисления производной дуги служат функции:

ArcLengthFactor [ { fx, f у, f z}, t] – дает дифференциал длины дуги, заданной параметрически с параметром t в текущей системе координат;
ArcLengthFactor [ {fx, f у, fz}, t, coordsys] – дает дифференциал длины дуги, заданной параметрически с параметром t в системе координат coordsys

Примеры вычисления дифференциалов и длин дуг с помощью этих функций:

param = {Cos[t], Sin[t], t} 
{Cos[t], Sin[t], t} 
  
ArcLengthFactor[ param, t, Cartesian] //Simplify 
корень из 2
f[x_, y_, z_]: = x^2 y^2 z 
  
Integrate[ f[param] ArcLengthFactor[ 
param, t, Cartesian], {t, 0, 2 Pi}] // Simplify

Ряд функций служит для создания матрицы Якоби (матрицы частных производных) и вычисления относящихся к ней понятий:

JacobianMatrix [ ] – возвращает матрицу Якоби, определенную в текущих координатах;
JacobianMatrix [pt] – возвращает матрицу Якоби в точке pt и в текущих координатах;
JacobianMatrix [coordsys] – возвращает матрицу Якоби, определенных в системе координат coordsys;
JacobianMatrix [pt, coordsys] – возвращает матрицу Якоби в точке pt, определенную в системе координат coordsys;
JacobianDeterminant [ ], JacobianDeterminant [pt] и т. д. – вычисление детерминанта матрицы Якоби при указанных выше определениях;
ScaleFactor [ ], ScaleFactor [pt] и т. д. – вычисление масштабного фактора при указанных выше определениях.

Применение этих функций поясняют следующие примеры:

JacobianMatrix[Cartesian[x, y, z]] 
{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} 
  
JacobianMatrix[Spherical[r, t, p] ] 
{{Cos[p] Sin[t], rCos[p] Cos[t],-rSin[p] Sin[t]}, 
{Sin[p] Sin[t], rCos[t] Sin[p], rCos[p] Sin[t]}, 
{Cos[t], -rSin[t], 0}} 
  
JacobianDeterminant[Spherical[r, t, p] ] 
r^2Sin[t] 
  
Integrate[r^2 JacobianDeterminant[ Spherical[r, theta, phi]], 
{r, 0, 2}, {theta, 0, Pi}, {phi, -Pi, Pi}] 
128n/5

Следующие функции определяют ряд характеристик векторного поля:

Div[f] – возвращает дивергенцию векторного поля f в текущей системе координат;
Curl [f ] – возвращает вихрь (ротор) векторного поля f в текущей системе координат;
Grad[f ] – возвращает градиент векторного поля f в текущей системе координат;
Laplasian [f] – возвращает лапласиан векторного поля f в текущей системе координат;
Вiharmonic [f] – возвращает лапласиан лапласиана векторного поля f в текущей системе координат;
Div [f, coordsys], Curl [f, coordsys] и т. д. – указанные выше функции в системе координат coordsys.

Приведем примеры использования этих функций:

Laplacian[x*y^2*z^3,ProlateSpheroidal[x, y, z]] 
  
(Csc[y] Csch[x] (y2z3Cosh[x] Sin [y] + 2xyz3Cos[y] Sirih[x] +2xz3Sin[y] Sinh[x] + 6xy2zCsc[y] Csch[x] (Sin[y]2+ Sinh[x]2))) / (Sin[y]2+Sinh[x]2) 
  
Grad[x^2 y^3 z^4,ProlateSpheroidal[x, y, z]]